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항공기 소음과 로그 함수

1930년대에 잰스키가 은하수를 관측하기 전에도 물리학자들은 천체가 전파원이 되어 그 전파를 관측할 수 있을 것이라고 추측했다.

로그(log, logarithm) 함수는 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑 a를 몇 번 곱해야 하는지를 나타내는 ‘비(比)의 수’를 의미하는 함수다. 일반적으로 로그 함수는 지수 함수 y = ax의 역함수 y = loga x를 말한다. 여기서 함수 y = loga x가 의미하는 것은 a를 밑으로 하는 x의 로그가 y와 같다는 것이다. 

로그는 언제 탄생했을까?

로그는 17세기 초에 영국 스코틀랜드 출신의 수학자이며 천문학자인 존 네이피어가 고안했다. 그는 매우 복잡한 계산을 단순화시켜 쉽게 계산하기 위해 20년 이상을 연구해 처음으로 로그 이론을 정립했다. 그의 이론은 현재의 로그 이론과는 차이가 있지만 자연 로그와 관련된 표, 설명 자료가 들어 있는 책 『놀라운 로그 법칙의 기술(A Description of the Wonderful Law of Logarithms)』을 발간했다.

로그 함수를 발명한 존 네이피어.

1614년 발간된 네이피어의 저서 『놀라운 로그 법칙의 기술』 표지.

대표적으로 사용되는 로그에는 10을 밑으로 하는 상용 로그 함수 y = log x와 무리수 e를 밑으로 하는 자연 로그 함수 y = ln x가 있다. 네이피어는 1615년 자신을 방문한 영국의 수학자인 헨리 브리그스(Henry Briggs, 1561~1630년)의 상용 로그 제안을 받아들이고 공동으로 로그의 기초를 확립하고자 노력했다. 그 당시 브리그스의 제안은 무리수 e가 실제적으로 활용하기 어려우니 밑이 10인 상용 로그를 도입하자는 것이었다. 그러나 네이피어는 상용 로그에 대한 생각을 실행에 옮기지 못하고 세상을 떠났다. 그 후 브리그스는 1624년 자신의 저서 『로그 산술(Arithmetica Logarithmica)』을 통해 상용 로그 값들을 정리했다. 상용 로그는 우리가 사용하는 10진법 수를 자릿수로 표현하기에 편리했다. 그러나 10의 3제곱과 4제곱 사이에 너무 많은 수가 비어 있는 단점이 있다. 이에 따라 그 사이를 무한히 쪼갤 수 있는 무리수 e를 밑으로 하는 자연 로그가 필요했던 것이다.

무리수 e는 역사적으로 네이피어가 로그를 발견할 당시 은행에서 복리법으로 이자를 계산하던 과정에서 등장했다. 은행에 예치하는 기간이 무한대라고 할 때, 등비 수열을 이용해 원리합계를 계산하기 위해서는 이자에 해당하는 공비(로그 함수의 밑)를 아주 작게 쪼개야 하며 기간인 지수를 무한대로 발산시켜야 한다. 이러한 계산은 다음과 같은 극한으로 정의할 수 있다.

이 식에서 n이 무한대로 커지면 1/n은 0에 가까운 값이 되고, 그 결과 괄호 안의 값은 1에 가까워진다. 한편 지수 n은 무한대이므로 괄호 안의 값을 무한히 거듭 제곱해야 한다. 이처럼 1에 한없이 가까운 값을 무한히 거듭 제곱하면 그 값은 결국 e = 2.7182818284590···에 수렴한다. 그러니까 (1+ 1/n)n의 값은 n이 무한히 커짐에 따라 일정한 수에 수렴하는데, 그 극한을 무리수 e라 표현한다. 이것이 바로 무리수 e의 탄생 배경이다. 

무리수 e로 수렴하는 등비 수열 (1+ 1/n)n.

그럼 무리수가 로그에 어떻게 응용되는지 알아보자. 은행이 복리로 연이율 r를 n 년 동안 지급한다면 최종적으로 원리합계는 원금의 (1+ r/n)n 배가 된다. 여기서 n이 충분히 크면 이 값은 er에 가까워진다. 무리수 e를 밑으로 하는 지수 함수 ex = y의 양변에 자연 로그를 취하면 자연 로그 함수 x = ln y를 얻을 수 있다. 계산이 복잡한 지수 함수를 로그를 취하고 로그표를 통해 쉽게 계산할 수 있다.

스위스의 수학자이자 물리학자인 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783년)는 미분 방정식을 연구하던 차에 미분 결과가 자기 자신이 되는 지수 함수의 밑이 바로 무리수 e라는 것을 알아냈다. 그는 어떤 함수를 미분할 때 계수가 발생하지 않고 미분한 결과가 원래 함수와 동일한 값을 찾는 과정에서 무리수 e와 같은 극한을 얻은 것이다. 그래서 수학자들은 무리수 e를 오일러의 수(Euler’s number)라 부르기도 한다. 무리수 e에 대한 지수 함수 y = ex은 미분해도 그 결과가 y’ = ex으로 다시 자기 자신이 되는 함수다. 또 ln x의 미분은 계수가 발생하지 않는다. 이와 같이 지수 함수와 자연 로그 함수는 미분해도 계수가 붙지 않아 자연 현상과 사회 현상을 설명하는 데 아주 유익하다.

또 로그는 두 숫자 사이의 차는 크다 하더라도 자릿수를 대폭으로 줄일 수 있는 장점이 있다. 예를 들어 자연수 100과 1000만은 10만 배 차이가 나므로 한 그래프 상에 비교하기 곤란하다. 100은 102이므로 상용 로그 값은 2에 해당하고, 1000만은 107이므로 7에 해당한다. 로그 값은 큰 숫자를 2와 7과 같이 자릿수를 줄여 표현하는 일종의 압축기 역할을 한다. 이외에도 로그는 아래와 같이 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈만큼 간편하게 계산할 수 있게 해 주는 계산 도구이기도 하다. 

로그 함수가 17세기 초에 최초로 등장했을 당시 계산을 많이 하는 천문학 분야에서 대대적으로 환영했다고 한다. 현재는 계산 도구로서 로그의 가치는 컴퓨터의 발달로 인해 많이 떨어졌지만, 함수로서의 가치는 여전하다.

자연 로그와 두 수 사이를 무한히 쪼갤 수 있는 무리수 e는 과학, 경제학 등의 분야에서 큰 수를 계산하는 데 효과적으로 활용된다. 자연 로그는 천문학 분야에서와 같이 아주 큰 수뿐만 아니라 미생물이나 세포의 크기와 같이 아주 작은 수를 다룰 때도 아주 유익하다. 또 물리량을 간략하게 나타내는 강점이 있어 일상 생활에서 수치를 나타내는 도구로 이용된다. 이러한 로그 함수는 항공기 소음을 나타내는 데시벨(dB, decibel), 지진의 세기를 나타내는 리히터 규모 척도(Richter magnitude scale), 별의 밝기, 박테리아의 크기, 산성과 염기성을 알려 주는 수소 이온 농도(pH) 등의 측정에 활용된다. 

항공기 소음에 로그 함수를 사용한다고?

전라남도 광주 공항 주변 소음 세기는 84웨클(WECPNL, Weight Equivalent Continuous Perceived Noise Level)로, 청주 공항과 함께 전국 지방 공항 중에서 소음이 최고로 심한 곳이다. 여기서 웨클은 공항 주변의 소음 영향도를 나타내는 단위다. 최근 법원은 광주 공항 주변 소음 피해 주민에 306억을 배상하라는 판결을 내렸다. 몇 년 전에도 대구 공항 인근 주민들이 항공기 소음에 피해를 입었다며 국가를 상대로 소송을 제기해 승소했다. 이에 국방부는 소음 피해가 심각한 대구, 수원, 광주 등 여러 곳의 군용 비행장을 이전하기로 했다.

공항 주변의 항공기 소음에 대해 언급하기 전에 로그 함수를 사용하는 소리의 세기에 대해 알아보자. 인간은 소리를 진동으로 인지하기 때문에 작은 소리의 변화에는 예민하지만 큰 소리 변화에는 아주 둔감하다. 이에 따라 소리의 세기를 수치화하면 편차가 매우 큰데, 이를 그대로 사용하기 곤란하므로 다음과 같이 로그로 표현해 사용한다.

소리의 세기를 나타내는 무차원 단위 데시벨은 측정하고자 하는 소리 세기(I)와 특정 표준음의 소리 세기(I0)의 비를 상용 로그로 취한 다음 10을 곱해서 얻는다. 표준음인 0데시벨은 건강한 귀로 조용한 방에서 들을 수 있는 작은 소리 정도이다. 정상적인 청각을 지닌 사람이 겨우 들을 수 있는 0데시벨과 기차의 경적 소리인 최강음 120데시벨을 기준으로 데시벨의 값이 10만큼 증가할 때마다 소리 세기는 10배 강해진다. 20데시벨의 소리는 10데시벨의 소리보다 10배 강하고, 0데시벨보다 100배 강하다.

보통 일상의 대화 소리는 45~60데시벨이며, 아이들이 뛰는 소리는 50데시벨 정도다. 소음 허용 기준은 지역뿐만 아니라 낮과 밤에 따라 다르다. 정부가 발표한 층간 소음기준은 주간에 43데시벨이고 야간에 38데시벨이다. 시끄러운 소리(80데시벨)는 표준음 세기의 108배(1억 배)이고, 모터사이클 소리(100데시벨)는 1010배(100억 배)이며, 기차 경적 소리(120데시벨)는 표준음 세기의 1조 배이다. 이처럼 로그 함수의 압축 능력은 대단하다. 

디지털 소음 측정기 AR824. ⓒ Rockford Industrial

항공기 소음의 측정 및 평가 단위는 단순히 소리 크기만을 나타내는 데시벨을 사용하지 않고 웨클을 사용한다. 이는 국제 민간 항공 기구(ICAO)에서 권장하는 단위로 항공기가 이착륙할 때 발생하는 소음 정도에 운항 횟수, 시간대, 소음의 최댓값 등에 가산점을 주어 종합적으로 평가한다. 예를 들어 같은 크기의 소리를 내더라도 항공기 소음은 한낮(오전 7시~오후 7시)에 비해 저녁 시간(오후 7∼10시)에는 3배, 심야 시간(오후 10시∼익일 오전 7시)에는 10배의 소음 피해를 끼치는 것으로 평가해 각각 가중치를 부여한다.

세계 각국에서는 항공기 소음을 평가하기 위해 자국의 환경 기준이나 특성에 맞추어 웨클(가중 등가 감각 소음도), PNL(감각 소음도), Ldn(주야 등가 소음도), Leq(등가 소음도) 등 다양한 척도를 사용하고 있다. 아직도 전 세계적으로 통일된 소음 평가 단위가 없어 직접적으로 비교하는 데 어려움이 있다. 우리나라는 법률 제15113호인 ‘공항 소음 방지 및 소음 대책 지역 지원에 관한 법률’에 따라 공항 인근 지역의 공항 소음 방지 대책 기준을 정하고 있다. 우리나라와 중국에서는 소음 척도로 웨클, 독일과 영국에서는 Leq, 미국과 호주에서는 Ldn을 사용하고 있다. 

조용한 여객기는 없을까?

항공기의 소음은 크게 두 가지, 기체 표면에서 발생하거나 바퀴에서 발생하는 공기 역학적 소음과 엔진에서 발생하는 엔진 소음으로 구분된다. 공기 역학적 소음은 기체 표면을 따라 흐르는 공기 흐름에서 발생하는 소음으로 항공기 순항뿐만 아니라 이착륙시의 기체와 날개의 플랩, 착륙 장치 등에서 발생한다. 공기 역학적 소음은 엔진 소음에 비해서 훨씬 낮은 수준이다. 매우 높은 고도에서 발생하는 공기 역학적 기체 소음은 주변 환경 소음에 있어서 큰 문제는 없다. 그렇지만 항공기 실내 소음 측면에서 공기 역학적 소음은 중요한 고려 대상이 된다. 항공기 실내 소음은 공기 역학적 기체 소음 및 공조기 소음, 엔진 소음이 대부분이다. 

최근 개발된 B787과 A380 등은 소음 세기를 90데시벨 미만으로 줄여 종전의 여객기에 비해 상당히 조용해졌다. A380은 엔진 출입구뿐만 아니라 객실 내부에도 흡음재를 장착해 획기적으로 소음을 감소시켰다. 특히 엔진 제작사들은 적절한 블레이드 숫자와 회전 속도 조절, 흡음재 장착 등을 통해 엔진 소음을 줄이고자 최선을 다하고 있다. 또 B787이나 B848-8 터보팬 엔진의 배기 노즐은 다른 여객기와 달리 톱니바퀴 모양(또는 물결 모양)으로 제작되었는데, 이것이 바로 제트 소음을 감소시켜 주는 쉐브론 노즐(Chevrons nozzle)이다. 이것은 팬 흐름과 외부 공기가 효과적으로 빠르게 혼합되게 함으로써 난류 발생을 억제하고 배기 가스 흐름 속도를 감소시켜 소음을 줄인다.

B787-8의 물결 모양 쉐브론 노즐.

수능날에는 비행 금지!

매년 대학 수학 능력 시험을 실시할 때 듣기 평가 시간 동안 해발 1만 피트(3,048미터) 아래로 비행이 금지된다. 따라서 국토교통부는 모든 조종사들이 알 수 있도록 이를 공지해 국내 국제 공항에 진입하는 외국 항공기들도 이착륙이 금지된다. 항공기 소음은 거리가 증가함에 따라 감소하는데, 대략 거리가 2배 증가할 때 소음은 절반으로 줄어든다. 따라서 여객기가 1만 피트 이상 높이에서 비행하면 30데시벨 이하까지 소음이 줄어 듣기 평가에 방해를 주지 않는다. 

인천, 김포, 제주 공항뿐만 아니라 군용 비행장이 있는 대구, 수원, 광주 등과 같은 대도시에 이착륙하는 항공기는 인근 주민들에게 큰 소음 피해를 입히고 있다. 이러한 소음을 줄이기 위해 공항 주변에 항공기 소음 자동 측정망이 운영되며 실시간 소음 측정 결과를 분석해 대책을 마련하고 있다. 또 어떤 전투 비행단에서는 소음을 줄이기 위해 이륙 활주 후 상승각을 높여 지면에서 빨리 멀어지도록 비행한다고 한다. 

이와 같이 소리의 세기는 진폭에 따라 결정이 되는데, 진폭이나 진동수가 2배, 3배의 단위로 증감하는 것이 아니라 100배, 1,000배의 단위로 변한다. 그래서 소리의 세기를 일반 정수 대신 상용 로그를 사용하는 것이 편리하다. 물론 로그 함수는 항공기 소음뿐만 아니라 진동, 에너지 수준을 표현하는 데도 활용된다. 

지진 측정에도 사용되는 로그

2016년 9월 경주와 2017년 11월 포항에서 각각 리히터 규모 5.8과 5.4의 지진이 발생했다. 1978년 국내에서 지진을 관측한 이래 최대 규모로 많은 피해가 발생했다. 이와 같이 지진이 발생했을 때 사용되는 용어는 ‘리히터 규모 척도’다. 

2016년 9월 경주에서 발생 리히터 규모 5.8 지진.

리히터 규모는 1935년 미국의 지질학자 찰스 프랜시스 리히터(Charles Francis Richter, 1900~1985년)가 제안한 지진 세기 단위다. 이것은 지진 자체의 강도를 절대적 수치로 표현하기 위한 척도다. 리히터 척도는 지진파별로 진폭의 편차가 수십 억 배 이상이기 때문에 압축기 역할을 하는 상용 로그 함수로 나타낸다. 지진의 규모는 M = log10 A로 표현하며, 여기서 A는 지진파의 최대 진폭(마이크로미터 단위)을 말한다. 지진의 규모는 상용 로그 함수로 표시되므로 지진의 최대 진폭이 10배씩 커질 때 1.0씩 증가한다. 리히터 규모가 1단위 증가하면 진폭은 무려 10배나 증가한 것이므로 큰 피해를 유발한다. 

찰스 프랜시스 리히터.

진앙지에서 발생한 지진 자체의 크기는 떨어진 위치에 따라 실질적인 피해 규모와 맞지 않을 수 있다. 그래서 정확한 수치를 갖는 정량적인 값으로 지진 자체의 크기를 나타낼 필요가 있다. 진앙지에서 발생한 리히터 규모 외에 실제로 입은 피해 정도를 나타내는 데는 진도(intensity)라는 척도를 사용한다. 진도는 어떤 위치에 나타난 지진의 세기를 인간의 느낌이나 지진 피해의 정도를 정해진 설문으로 계급화한 척도다. 따라서 진도는 동일한 진앙지에서의 지진이라도 떨어진 거리에 따라 다르게 나타난다. 

로그의 발명은 수학사의 획기적 사건!

이와 같이 로그 함수는 복잡한 계산을 간단히 해 주고 큰 수를 작게 압축하며, 미분을 해도 계수가 붙지 않을 뿐만 아니라 곱셈을 덧셈으로 만들어 주는 등 다양한 기능을 갖고 있다. 따라서 로그 함수는 자연과 사회 현상을 나타내는 데 아주 편리해 항공 우주학, 천문학, 화학, 지질학, 항해학, 공학 등 여러 분야에서 활용된다. 17세기 초 존 네이피어의 로그 함수의 발명은 한마디로 말해 수학사의 획기적인 사건이라 말할 수 있다.

1860년대 제임스 클러크 맥스웰의 맥스웰 방정식은 전자기파가 전기 및 자기와 관련이 있으며, 어떠한 파장에서도 존재할 수 있음을 보였다.

니콜라 테슬라, 올리버 로지 등이 태양에서 방출되는 전파를 검출하려고 여러 번 시도하였으나, 기술적 한계로 인하여 실패하였다.

칼 잰스키는 1930년대 초반에 천문학적 전파원을 최초로 우연히 발견하였다. 벨 전화 연구소 소속 공학자였던 그는 대서양 횡단 음성전송에 사용되는 단파 통신에 자꾸 끼어드는 잡음을 조사하고 있었다.

커다란 지향성 안테나를 사용한 잰스키는 아날로그 펜과 종이 기록에 정체불명의 전파원에서 오는 반복되는 신호가 기록되고 있음을 알아차렸다.

신호가 매 24시간마다 절정에 달하였기 때문에 잰스키는 처음에는 간섭의 원인이 자신의 지향성 안테나의 시야를 가로지르던 태양이 아닌가 추측하였는데 분석한 결과 전파원의 반복 주기는 태양을 따라가는 정확한 24시간이 아니라 23시간 56분으로 나타났다.

잰스키는 이 영문 모를 현상을 동료인 천체물리학자이자 교사인 앨버트 멜빈 스켈렛에게 털어놓았다.

스켈렛은 23시간 56분이 항성시를 가리키며 이것은 전파원이 지구가 1회 자전할 때마다 안테나의 시야에 들어오게 되는 천구상에 고정되어 있는 천체라는 것을 의미한다는 것을 지적하였다.

자신의 관측 결과를 광학  천문도와 대조해 본 잰스키는 마침내 자신의 안테나가 궁수자리의 은하수가 가장 짙은 지역을 가리켰을 때 문제의 전파원이 절정에 달하였다고 결론내렸다.

그는 태양이 전파 잡읍을 일으킬 정도로 큰 전파원이 아니므로 문제의 전파 간섭은 은하의 성간 가스와 먼지에 의해 생성된 것이라고 생각했다.

잰스키의 전파원은 하늘에서 가장 강력한 전파원 중 하나로 1950년대에 궁수자리 A라고 명명되었다. 그리고 이것은 성간 가스와 먼지는 아니었으면 이 구역에서 발견된 천체들이 발생시키는 강력한 자기장과 그 안의 전자에서 방출되는 것임이 밝혀졌다.

잰스키는 자신의 발견을 1933년에 발표하였다. 그는 은하수에서 나오는 전파를 보다 상세히 조사하고 싶어했다.

하지만 벨 연구소는 그를 다른 프로젝트로 전출시켰고, 이후 잰스키가 천문학 분야에 있어 다른 업적을 남긴 바는 없다. 하지만  전파천문학에 있어 그의 선구자적 업적은 선속밀도의 기본 단위 잰스키를 그의 이름을 따 명명함으로써 기려지고 있다.

1937년 잰스키의 연구에 영감을 받은 그로트 레버가 자기 집 뒷마당에 직경 9미터 짜리 포물면 전파망원경을 설치하였다. 잰스키의 관측을 반복하는 것으로 연구를 시작한 레버는 최초의 전파 대역 전천 탐사를 수행하였다.

1942년 2월 27일에는 영국 육군 연구장교 제임스 스탠리헤이가 태양에서 방출되는 전파를 최초로 검출하였다.

관측

약 1mm보다 긴 파장대의 전자기파를 이용한다.

전파천문학은 관측문학의 다른 분야와는 달리 관측된 전파를 개개의 광자로 다루기보다는 파동으로 다룬다.

그러므로 짧은 파장 영역의 전자기파에 비해 전파의 세기와 위상을 측정하는 데 상대적으로 수월하다.

어떤 전파는 열적 발산의 형태로 천체에 의해 생성되기도 하지만 지구상에서 관측 가능한 대부분의 전파 방사는 싱크로트론 복사의 형태이다.

또한 별들 사이의 가스 특히 21 cm 수소분광선에  의해 생성된 많은 분광선들이 전파영역에서 관측 가능하다. 전파천문학에서 다루는 천체는 초신성, 성간가스, 펄서, 활동은하핵 등 매우 다양하다. 

천체의 전파는 미약하기 때문에 관측은 전파 망원경에 의해 이루어진다. 전파는 파장이 길기 때문에 성간 물질에 의한 산란을 받지 않으며, 가시 광선으로 관측할 수 없는 암흑 성운의 뒷쪽 등을 관측하는 것이 가능하다.

그러나 단파보다 파장이 긴 40cm 이상 전파는 전리층에서 반사되기 때문에 지상에 닿지 않는다. 또한 파장이 짧은 3cm 이하 전파는 대기 중의 물 분자와 산소 분자에 의해 흡수되므로 역시 지상에 도달하기 어렵다.

따라서 그 사이 파장의 전파가 관측에 사용되고 있다. 1980년대 이후에는 관측 장치의 위치를 고려하면서 전파 망원경의 집광력 등을 향상시키는 등의 방법을 통해 밀리미터 영역에서 하위 밀리미터 영역 관측도 수행하고 있다.

천체는 특정한 전파를 발생시킨다. 여러 파장에서 관측을 수행하면 천체에서 어떤 전파가 발생하는 지 알 수 있다. 그리고 그서을 통해 천체의 성질을 알 수 있다.

싱크로트론 방사선: 광속에 가까운 전자가 자기장에서 로렌츠 힘을 받아 원운동 때 방출된다. 파장 의존성이 강한 연속 스펙트럼을 가진 편광을 발생시킨다.

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